Formes modérément ramifiées de polydisques fermés et de dentelles

Marc Chapuis
2021 Annales de l'Institut Fourier  
Let k be a complete non-Archimedean field, L a finite tamely ramified galoisian extension of k and X a k-analytic space. We show that X is isomorphic to a closed k-polydisc (resp. a k-lace) if and only if X L is isomorphic to a closed L-polydisc (resp. a L-lace) on which the action of Gal(L/k) is reasonable. Mots-clés : espaces de Berkovich, ramification modérée, polydisque, couronne. Classification Mathématique (2020) : 14G22, 13B02, 16W70. de Galois sur X L est toujours résiduellement affine.
more » ... Cette hypothèse est vérifiée pour peu que l'action de Galois sur L[τ 1 , . . . , τ n ] soit linéarisable. Cette question est liée à des problèmes compliqués de descriptions des automorphismes de l'espace affine (pour un exposé complet [12]) : dès la dimension trois, même dans le cas non gradué, la question semble ouverte. En dimension deux nous avons réussi à adapter dans le formalisme de l'algèbre graduée le résultat de [11] sur les formes séparables du plan affine et à montrer que l'hypothèse « l'action de Galois est résiduellement affine » est toujours vérifiée pour les bidisques, ce travail fera l'objet d'une publication ultérieure. Dans la dernière section, nous traitons des dentelles sur le réseau desquelles Galois agit trivialement : la L-dentelle X L de type U se rétracte par déformation sur une partie homéomorphe à U , son squelette analytique S(X L ) an , quand U est d'intérieur non vide (en dimension un, un intervalle non réduit à un point), l'action de Galois est triviale sur le réseau si et seulement si elle est triviale sur S(X L ) an (en dimension un si elle préserve l'orientation de S(X L ) an ), et on généralise cette idée quand U est d'intérieur vide. Notre stratégie de preuve est la même que pour les polydisques à ceci près que celle-ci repose sur une caractérisation de coordonnées par leurs réductions graduées pour la semi-norme spectrale et que cette approche TOME 71 (2021), FASCICULE 1 Algèbre linéaire homogène et Hilbert 90 Dans tout ce qui suit, on désignera par Γ un groupe abélien divisible, sans torsion et ordonné, toujours noté multiplicativement. En pratique, Γ sera égal à R × + . On désignera par k un corps Γ-gradué. Remarque 1.1. -Avant de pouvoir traduire en termes graduées une preuve classique du théorème 90 de Hilbert (telle qu'exposée par exemple dans [1]) il nous faut donner un sens précis aux espaces vectoriels et matrices que nous manipulons. C'est l'objet des deux premières sous-sections. Définition 1.2. -Un polyrayon est une famille finie d'éléments de Γ.
doi:10.5802/aif.3352 fatcat:w443o7p3zfd6jjfgcfvfbos3m4