ASPECTOS DA TOPOLOGIA E DA TEORIA DOS PONTOS FIXOS [thesis]

LEONARDO HENRIQUE CALDEIRA PIRES FERRARI
The goal of the present work is to gather the classical fixed-point theorems and their corollaries, as well as other fixed-point theorems arising from degree theory, and some important applications to diverse fieldsfrom the classical applications to ODEs and PDEs to an application to the game theory. An example is the Schauder-Tychonoff Fixed-Point Theorem, 1 concerning compact mappings in convex subsets of locally convex spaces, from which it follows as a corollary that every compact convex
more » ... y compact convex subset of a normed vector space is a fixed-point space. In regard to game theory in particular, we obtained Nash's theorem, 2 which ascertains conditions over which certain games have equilibria in their strategy spaces. All general topology necessary in the proofs was developed extensively and in details from a basic topology starting point, following some of the bibliographic references. Dugundji's Extension Theorem 3 -an extension of Tietze's Extension Theorem 4 for closed subsets of metric spaces into locally convex spaces-, for instance, is obtained with detais and used throughout the dissertation. Proposição 2.1.2. As seguintes afirmações são equivalentes: Demonstração. Corolário 2.1.2.1. Seja X espaço de Hausdorff e B uma base de abertos de Demonstração. Como X é de Hausdorff e q = p, ∃ V vizinhança de p tal que Corolário 2.1.2.3. Todo ponto de um espaço de Hausdorff é um conjunto fechado. Demonstração. Todo ponto de um espaço de Hausdorff é uma intersecção de conjuntos fechados, logo fechado. Corolário 2.1.2.4. Todo conjunto finito de um espaço de Hausdorff é um conjunto fechado. Demonstração. Todo conjunto finito é uma união finita de pontos, que são conjuntos fechados (conforme 2.1.2.3), sendo assim fechado também. Corolário 2.1.2.5. Seja X de Hausdorff e A ⊂ X. Então x ∈ A se, e somente se, ∀ U x aberto, U ∩ A é infinito. Demonstração. ⇒ Suponha que ∃ U x aberto tal que U ∩ (A − {x}) = {x 1 , ..., x n }. Como X é de Hausdorff, por 2.1.2.4, temos que {x 1 , ..., x n logo não-vazio. Proposição 2.1.3. 1. A imagem de um espaço de Hausdorff por uma bijeção aberta é também de Hausdorff. 2. Todo subespaço de um espaço de Hausdorff é também de Hausdorff. Demonstração. 1. Uma bijeção leva conjuntos disjuntos em conjuntos disjuntos. Portanto, uma bijeção aberta leva vizinhanças disjuntas em vizinhanças disjuntas. 2. Seja X espaço de Hausdorff e Y ⊂ X com a topologia induzida por X. ∀p, q ∈ Y ⊂ X, ∃ U, V vizinhanças respectivas de p e q em X tais que A partir deste momento, todos os espaços deste capítulo, a menos que se especifique o contrário, devem ser considerados de Hausdorff. Definição 2.1.4. Um espaço de Hausdorff Proposição 2.1.5. As seguintes afirmações são equivalentes: Proposição 2.1.6. Todo subespaço de um espaço regular é também regular. Proposição 2.1.7. Seja X um espaço regular. Então cada par de pontos distintos tem vizinhanças cujos fechos não se interceptam. PUC-Rio -Certificação Digital Nº 1512246/CA Capítulo 2. Fundamentos da Topologia 16 Demonstração. Seja p ∈ X e q = p ⇔ p / ∈ {q} conjunto fechado. Então, por 2.1.5, ∃ V vizinhança de p tal que V ∩ {q} = ∅ ⇔ q / ∈ V . Mas V é fechado, assim, pela regularidade de X, ∃ U vizinhança de q tal que U ∩ V = ∅. Definição 2.1.8. Um espaço de Hausdorff X é dito normal ou T 4 se cada dois conjuntos fechados disjuntos tiverem vizinhanças disjuntas. Observação 2.1.9. Naturalmente, todo conjunto normal é também regular, de acordo com 2.1.2.3. Proposição 2.1.10. As seguintes afirmações são equivalentes: 4. Cada par de conjuntos fechados disjuntos tem vizinhanças cujos fechos não se interceptam. Demonstração. 4 ⇒ 1 Sejam A, B fechados e U, V suas respectivas vizinhanças tais que U ∩V = Proposição 2.1.11. Todo subespaço fechado de um espaço normal é também normal. Demonstração. Seja X um espaço normal, Y ⊂ X um subespaço fechado com a topologia induzida por X e A, B fechados em Y . Y é fechado em X ⇒ A, B são fechados em X ⇒ ∃ U, V abertos em X com A ⊂ U, B ⊂ V e U ∩ V = ∅. EntãoŨ ,Ṽ são abertos disjuntos de Y com A ⊂Ũ e B ⊂Ṽ . Teorema 2.1.12 (Lema de Urysohn). Seja X de Hausdorff. Então X é normal se, e somente se, ∀ A, B ⊂ Y fechados disjuntos, ∃ f : X → R, dita função de Urysohn, tal que: PUC-Rio -Certificação Digital Nº 1512246/CA Capítulo 2. Fundamentos da Topologia (c) Caso r 0 ∈ (0, 1): Tome r, r tais que r 0 − < r < r 0 < r < r 0 + . Então f (U r − U r ) ⊂ [r, r ] ⊂ (r 0 − , r 0 + ) = W .
doi:10.17771/pucrio.acad.31064 fatcat:kzol3ceecvcnxiior7lsduokrm