Perrin-Riou: Arithmétique des courbes elliptiques à réduction supersingulière en p 157 Lemme 2.1. Si M f = Zω f + Z p ϕω f , Démonstration: L'endomorphisme pϕ laisse stable M E . D'autre part, ϕω E ∈ M E . Comme p est supposé supersingulier, il est facile de voir que [ϕω E , ω E ] D p (E) est une unité (si pγ α pδ β est la matrice de pϕ dans la base (ω E , η) avec α, β, γ, δ ∈ Z p , on a pγ + β = a p , γβ − αδ = 1 ; comme a p est divisible par p, il en est de même de β ; donc [ϕω E , ω E ]

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... = δ est une unité). On en déduit que M E = Z p ω E ⊕Z p ϕω E (noter le changement de notation par rapportà [Bernardi and Perrin-Riou 93]). Lorsque E a bonne réduction supersingulière en p, p ne divise pas c π . (En effet, il est démontré que si E est la courbe de Weil forte, cela est le cas. Comme E a bonne réduction supersingulière, il n'existe pas d'isogénie sur Q de degré p. En effet, dans le cas contraire, l'image de G Q dans GL 2 (Z/pZ) serait contenue dans un sous-groupe de Borel, ce qui est impossible car elle contient le normalisateur d'un sous-groupe de Cartan. On démontre donc en même temps que le sous-groupe de E Soit c 0 le nombre de composantes connexes de E(R). Soit m un entier tel que π * {r} ∈ H 1 (E, m −1 Z) où {r} est l'image dans X 0 (N E )(C) d'un chemin joignant ∞ au rationnel r (son existence est dueà un théorème de Manin). Soient γ + et γ − des bases des Z-modules H 1 (E, Z) Si r est un rationnel, on note x ± (r) les composantes de −π * {−r} dans la base (γ + , γ − ). Lemme 2.2. Si r est un rationnel, les x ± (r) sont deś eléments de m −1 Z. Lorsque le dénominateur de r est premierà N E , x ± (r) est de plus entier en p. Démonstration: Il s'agit du théorème de Manin. Lorsque le dénominateur de r est premierà N E , la pointe 0 et la pointe r sontéquivalentes sous le sous-groupe de congruence Γ 0 (N E ), (p − 1 − a p )π * {0} s'exprime en termes des π * { a p } − π * {∞} (avec a ∈ Z premierà p) qui sont entiers et p − 1 − a p est une unité en p. On pose c 1 = c π c 0 et C = 2c π m. Pour p impair supersingulier pour E, ce sont des entiers premiersà p. Fonction l p-adique Le symbole modulaire vérifie des propriétés de congruences qui peuvent se traduire comme l'existence d'une distribution p-adique d'ordre 1/2 (Vishik, Amice-Vélu). Ainsi, pour a premierà p, les où R (r) (E) est défini comme en 2.6 en remplaçant Z p ⊗ E(Q) parŠ p (E). Ce théorème est démontré dans [Perrin-Riou 93] et dans un cadre plus général dans [Perrin-Riou 00]. 2 Il se