The Robinson-Schensted Correspondence and A 2-webs

Matthew Housley, Heather Russell, Julianna Tymoczko
unpublished
The A2-spider category encodes the representation theory of the sl3 quantum group. Kuperberg (1996) introduced a combinatorial version of this category, wherein morphisms are represented by planar graphs called webs and the subset of reduced webs forms bases for morphism spaces. A great deal of recent interest has fo-cused on the combinatorics of invariant webs for tensors powers of V + , the standard representation of the quantum group. In particular, the invariant webs for the 3nth tensor
more » ... the 3nth tensor power of V + correspond bijectively to [n, n, n] standard Young tableaux. Kuperberg originally defined this map in terms of a graphical algorithm, and subsequent papers of Khovanov-Kuperberg (1999) and Tymoczko (2012) introduce algorithms for computing the inverse. The main result of this paper is a redefinition of Kuperberg's map through the representation theory of the symmetric group. In the classical limit, the space of invariant webs carries a symmetric group action. We use this structure in conjunction with Vogan's generalized tau-invariant and Kazhdan-Lusztig theory to show that Kuperberg's map is a direct analogue of the Robinson-Schensted correspondence. Résumé. La catégorie d'araignée A2 encode la théorie des représentations du groupe quantique Uq(sl3). Kuperberg (1996) a introduit une version combinatoire de cette catégorie, dans laquelle les morphismes sont repr´sentésrepr´sentés par des graphes planaires appelés toiles dont le sous-ensemble de toiles réduites constitue des bases pour les espaces de morphismes. Beaucoup d'interêt a ´ eté fixé recemment sur le combinatoire des toiles invariantes pour les puissances tensorielles de V + , la représentation standarde de Uq(sl3). En particulier, les toiles invariantes pour (V +) 3n sont en corresponance bijective au tableaux de Young standards [n, n, n]. L'application original de Kuperberg avait une définition en termes d'un algorithme graphique, puis des articles de Khovanov-Kuperberg (1999) et Tymoczko (2012) présentent des algorithmes pour la computation d l'inverse. Le résultat principal de cette article est une redéfinition de l'application de KuperbergàKuperberg'Kuperbergà travers la théorie de représentations du groupe symétrique. Dans la limite classique, l'´ espace des toiles invariantes porte une action de S3n. On emploie cette structure de concert avec l'invariant tau généralisé de Vogan et la théorie Kazhdan-Lusztig pour montrer que l'application de Kuperberg est un analogue direct de la correspondance Robinson-Schensted.
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