Formeln zur Berechnung der geodätischen Breiten, Längen und Azimuthe auf dem Erdsphäroid

Geheimen
1859 Astronomical Notes - Astronomische Nachrichten  
D i e Fornieln, welche auf der sphlroiclisclien ErdoherflSche zur Uebertragung cler Breiten , Langen und Aziiriuthe von eineni Dreieckspunkte zii eineni niichstfnlgeiiden dieneii, siiid sehr oft von den Matheniatikern bchandelt w i d e n . Gmss hat dieseni Gegenstande, wie Iwkannt. zwei ausfihrliclie Al)haiidluogen gewidmet, und e s diirfie wohl auch der von ihrn in der zrveiten Abhantlluog ("Untersuchungen iihcr Gegenstiiiide der hiiherri Geodiisie," pag. 30) gegeherien Liisung. wegen ihrer
more » ... ung. wegen ihrer Schlrfe urid Eleganz. ein entschiederier Vorzug vor allen andercn beigelegt werden. Als Rlangel selhst Lei dieaer Liisung IIsst sich aber doch ininier hervorliehen, dass sic einen ziemlich umfassenderi Apparat vori Hiilfstafeln erfordcrt, und dass die indirect gefiihrte Berechnung erst nach vier-oder fiinfnlaliger Wiederholung zu stehenden uncl definitiven Resultaten gelangt. Dabei kiinnte e s vielleicht auch als wiinschensrverth bezeichnet werdeii, dass die Entwickelung der Fornieln eine leichtere uiid weniger uinstlncllichc wire. Da ich in einer in der KopenhagenerGesellschaft der Wissenschaften vorgelesenea Abhandlung gezeigt habe, d a s s die Aufgabe an und fiir sich eine elenientare sei, und d a s s inan mit geringer Miihe verachiedene einfache gana directe, oder doch als solche zu betrachtende Liisungen entrvickeln kann, s o werde ich von diesen hier e i n c anfiihreo, deren Begriindung sich niit wyigeti Worten andeuten Ilsst, und die vielleicht auch von allen die kiirzeste Rechnung erfordert. Es giebt namlich zwei Fiille, wo die Aufgabe unniittelbar als eine clehr einfache erscheint. Der erste Fall tritt ein, wenn (lie Richtung tler geodatischen Linic niit der Richtung d e s Meridians zusaninienfillt. Bezeichnet nian hier iiiit M die Griisse der Linie .4C, positiv gegen Siiden und negativ gegen Norclen gerechnet, niit A und A, die Breiten des Ausgangspunktes A und des Endpunktes C, niit R , den Kriiinniungshalbniesser iiii Meridian fur die niittlerc Breite 7 untl niit c2 d a s Quadrat tler Exceritricitiit d e s Erdsphiiroids, dann erhiilt nian, durch die bekannte Rectification d e s Mcridianhogens i~n d indent J l und e2 als Grtissen e r s t e r Ordnung angeseheri rverden, die, bis auf G l i d e r tier fiinften Ordnung ausscliliesslich genaue, Gleichurjg : 2 50r Ed w o noch niit dern Factor p oder der Bagerilange voti ciiicr Secnride divitlirt ist, indeni niaii voraussetzt, d a s s tlie fiesuchten Griisseri in Secunden ausgedriickt werden solleri. Die Langendifferenz der beiden Punkte A uric1 C ist offenliar Null, uncl das Azimuth der Linie Cz4 voni Punktc C ~I I I B tvircl durch Additiorr voii 180' zu derii Aziniuthe (0" otlcr 180') im Puiikte .4 hestimmt. wobei stets vorauwgesetzt wirtl. d a s s die Azimuthe positiv von Siiden gegen Westen tlcri ganzen Krcis heruni gezahlt werden. Der zweite oben angedeutete Fall rvird d e r seirt. wi das Aziniutli der Linie = 90'. oder = 270' ist, d a s heiss! w n die Richtung der Linie niit der Richtung d c s Perperidikels auf den Meridian zusammenfillt, d e s n in dieser Richtorig wird das Spharoid von der ⋛ oeculirt, deren Halbnicsscr niit tler Normale im Ausgangspunkte U O~ dereii Polarachsc mit der Polaracbse d e s Spharoids zusanimenfallen, inrlein der Kugel untl dem Spharoid der ganze Breiteiikreis tlcs Ausgangspunktes gemeinsain ist. Die geodltische Linic: cZ3 = P, positiv gegen Westen und negativ gegen Osteii gerechnet, kann hier als unniittelbar auf der ehen Iiestiriiriilcri Kiigelflache liegend betrachtet, und die Berechnung der Ilrctiten-und Lgngendifferenzen, SO wie cles Azimuthes t i i i t vlilli; hiiireicherider Genauigkeit als eine rein sphlrische clurchgefiihrt rverden, w e n n man nur dabei heachtet, dass t l i r~ Breitendifferenz auf der Kugel, wegen der verschietlciiori Kriirnniung in1 Perpendikel und ini Meridian, niit der Griir5c. -No iiiultiplicirt rverden muss, indeni No den Aalbniesscr 11t.r fi 0 Kugel oder die Normale, und R" den Kriimniurigshalhincs~~~ ini Meridian, beide i n deni niit der Breite A" gegelieiicw Ausgangspunkte C bezeichoeii. Verbindet man tlie licidcii Endpunktc C und R der geodatischen Linie P = piV" i i t i t deni Pol der Kugel, dann giebt d a s dadurch gebiltlcte r(!t41trvinklige sphiirische Dreieck folgende Gleichungeii m r I:vstimniung der Breitendifferenz auf der Kugel d , der Liiiigeitdiffcrcnz 8 u r r d der Meridianconvergenz {: 11
doi:10.1002/asna.18590501102 fatcat:43mlf3lx55gdlpgmzkx7w26yeq