Resumo O objetivo deste trabalhoé exibir corpos com infinitas ordens e exibir uma estrutura topológica ao conjunto das ordens de um corpo. Como cada ordem em um corpo está associada de modoúnico a um subgrupo deíndice dois do grupo multiplicativo do corpo, ela fica associada, de modo natural, com uma função de F \ {0} em {±1}, (onde Fé o corpo em questão). Assim uma ordemé um elemento do produto cartesiano Π x∈Ḟ {±1} x . Usando a topologia produto, será provado que o conjunto das ordensé um

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... ço booleano, istoé, um espaço topológico de Hausdorff, compacto e totalmente desconexo. Palavras Chave: Ordens, Extensões de ordens, Corpo formalmente real Introdução O famoso teorema de Ernst Zermelo diz que todo conjunto pode ser bem ordenado. No entanto, para uma ordem sobre um corpo, exige-se um pouco mais dela: que seja compatível com as operações do corpo. Aí nem todos os corpos são ordenados, a menos que o considere apenas como conjunto. Neste artigo começaremos descrevendo rapidamente ordens sobre conjuntos. A seção (1) trata de ordens sobre corpos e a identificação dela com um subconjunto especial do corpo em questão. Este subconjunto (dito ordem sobre o corpo, ou do corpo) junto com as pré-ordens serão importantes ferramentas e constituirão um caminho a seguir para se estender ordensà uma extensão quadrática do corpo. Usando extensões de corpos, na seção 3.2, exibiremos um corpo com um conjunto infinito e não enumerável de ordens. Na ultima seção daremos uma estrutura topológica ao conjunto das ordens de um corpo, provando que elaé booleana, ou seja, um espaço de Hausdorff, compacto e totalmente desconexo. Usaremos a nomenclatura de [2] . Começaremos com a seguinte definição e exemplos Definição 1 Se Eé um conjunto não vazio, uma relação binária R ⊂ E × Eé uma relação de ordem (parcial) sobre E se Ré reflexiva, anti-simétrica e transitiva. Notação: Se (x, y) ∈ Ré usual escrever xRy. E neste caso, em geral, denota-se por x y (x precede y). Caso contrário, x y. O par (E, )é dito um conjunto (parcialmente) ordenado. * Trabalho realizado como parte de pesquisa sobre extensões de ordens sobre corpos †