Sopra le serie di funzioni sferiche

Ulisse Dini
1873 Annali di Matematica Pura ed Applicata  
Sopra le serie di funzioni sferiche (del prof. ULISSE DINI, a Pisa.) U no dei teoremi piit importanti dell' Analisi 6 quello the permette di esprimere analiticamente per una serie di funzioni sferiche una funzione di due variabili reali data arbitrariamente sopra la sfera . Le dimostrazioni pera di DiRICHLET e di BONNET the ordinariamente si danno di questo teorerna non mi pare the possano dirsi del tutto rigorose, a meno the non si facciano sulla natura della funzione certe restrizioni delle
more » ... restrizioni delle quali nelle dimostrazioni stesse non si fa parola (*). Io ho cercato percib di dare dello stesso teorema una dimostrazione piu rigorosa e dotata di maggior generality (anche pel caso cio6 the la funzione abbia un numero infinito di massimi e minimi), e ho cercato pure di eompletare le dimostrazioni di DIRICHLET intorno alla serie the rappresenta la density di una materia distribuita su una superficie sferica, quando it potenziale di questa materia e dato in ogni punto della superficie stessa (V. p. es. Journal de Liouville, 2e serie, torn. II, pag. 57) ; e credo di esservi riuscito nel mode the ora passo ad esporre . 1 . Siano 0 e (p le solite coordinate sferiche, e f(0, (p) i valori dati della funzione sopra la sfera . Indicando con P"(cos)/) o pi A semplicemente con P1 , la solita funzione di LEGENDRE, essendo cosy= cos OcosO'+ sen OsenOf cos((p (*) Nella dimostrazione di DIRICHLET p . es . la quantity the si trova indicata con O'(0) dovrebbe calcolarsi cercando it limite di O' (4') per 1' positivo e tendente a zero, a non prendendo per essa, come fa DIRICHLET, it valore di O'(4') per y=0, o almeno dovrebbe anche mostrarsi la continuity di 0'(4') per ¢=0, cib the da DIRICHLET non vien fatto, e porterebbe, mi pare, alcune restrizioni . Nella dimostrazione di BONNET poi si suppone in sostanza the la funzione ammetta delle derivate .
doi:10.1007/bf02420122 fatcat:564nxqaxovam5b3tkaw3xrelbm