Ricerche sulla deformazione delle quadriche

Luigi Bianchi
1906 Rendiconti del circolo matematico di Palermo  
Adunanza del t3 maggio 19o6. Le ricerche che espongo nel presente lavoro apportano nuovi complementi alia teoria delle trasformazioni delle superficie applicabili sulle quadriche, in particolare agli studi sulla deformazione delle quadriche rotonde e dei paraboloidi che ho sviluppato in due Memorie recenfi *). Una prima parte del presente scritto tratta delle superficie (reali) applicabili sul paraboloide a parametri puramente immaginarii (positivi) : T + q ed estende alle deformate di questo
more » ... formate di questo paraboloide i metodi di trasformazione esposti neUa Memoria (B) per i paraboloidi reali. Le formole relative a questo nuovo caso vengono qui dedotte da quelle per le trasformazioni di BXCKLUND per le superficie a curvatura costante negativa dello spazio ellittico, utilizzando ii nuovo metodo di WZINGARTE~ per la ricerca di classi di superficie applicabili. Con un procedimento analogo, si potrebbero dedurre le formole della Memoria (B) per le trasformazioni detle deformate dei paraboloidi reali da queue delle trasformazioni di B~CKLU~D per le superficie di curvatura costante, immerse in uno spazio ellitrico od iperbolico, ma col d s 2 indefinito. Ritornando all'attuale paraboloide (I), ~ da notarsi il caso del paraboloide rotondo p = q. Le sue deformate formano la classe completa delle superficie, gi~t determinate da WEI~GA~TE~ nelle sue prime ricerche, che sono le evolute delle superficie col raggi principali di curvatura legati dalla relazione r I --r~ ---sen (r I + r2) , e le superficie corrispondenti dello spazio ellittico sono quelle a curvatura assoluta nutla. *) (A) 7eoria delle trasformaKioni delle superficie applicabili sulle quadriche rof6nde [•emorie della Societh Italiana delle Scienze (detta dei XL), serie III, t. XIV (I9O5) , pp. 1-73 ]. (B) Teoria delle trasforma'<ioni detle superficie applicabiIi sui paraboIoidi [Annali di Matematica, serie III, t. XII (i9o6), pp. 263-344]. Nel testo verranno citate come Memoria (A) e Memoria (B). LUIGI BIANCHI. Nella seconda parte d6 una nuova estensione alla teoria delle trasformazioni delle deformate delle quadriche, dimostrando che esistono classi di congruence rettilinee Vf colle due falde della superficie focale applicabili sopra due quadriche diverse. Fino ad ora le congruenze W, che davano l'elemento essenziale geometrico per le trasformazioni, avevano le due falde focali applicabili sulla medesima quadrica. Colla nuova estensione effettuiamo il passaggio dalle deformate di una quadrica alle deformate di un'altra quadrica. In questi primi studl stabilisco una relazione di siffatta natura, fra le superficie applicabili sulle quadriche di rotazione attorno all'asse locale e le deformate (reali) di queUe quadriche immaginarie di DARBOUX che sono tangenti al circolo immaginario all'infinito. In particolare, si passa cosl dalle deformate del paraboloide rotondo alla classe di superficie, determinata da W~.mGARTV.N, coll'elemento lineare
doi:10.1007/bf03018604 fatcat:5tlynhytpnfeplvokigbosjmnu