Über eine für alle Kegelschnitte giltige Verallgemeinerung des Satzes, wonach der Peripheriewinkel über dem Halbkreise ein Rechter ist

A. Schwarz
1898 Monatshefte für Mathematik (Print)  
Der im Titel angef~thrte Satz l~sst versehiedene Verallgemeinerangen zu~ deren eine Herrn FrSgier zum Urheber hat~ der naehwies~ dass alle Sehnen eines Kegelsehnittes~ die yon einem Punkte M desselben unter einem reehten Winkel gesehen werden~ ein Strahlenbfisehel bilden. Der Seheitel M' des letzteren~ der za M gehSrige Fr6gier'sche Punkt~ ist offenbar mit dem Centrum derjenigen Involution identisch~ in welcher die reehtwinklige Strahleninvolution im Punkte M den Kegelschnitt schneider. Herr A.
more » ... Cazamian hat in den "Remarques sur le th6or~me de Fr6gier" (Nouv. Ann. XII[) dieses Theorem mittels reeiproker Polaren aus dem Satze: ,Der Ort aller Punkt% yon denen zu einander senkrechte Tangenten an eine Parabel gehen~ ist die Directrix dieser Parabel" abgeleitet. Die Verallgemeinerung, ~tber welche in dieser Arbeit berichtet wird, besteht darin~ dass jede Symmetriesehne eines Kegelschnittes yon einem Punkte M desselben unter einem solehen Winkel gesehen wird~ dass ~. tang ~ --const is L wenn mit y die L~nge des yon M auf die Symmetriesehne gef~llten Perpendikels bezeichnet wird. Aus dem Umstande, dass diese Constante ffir den Kreis einen unendlich gro~en Wert hat~ 7: folgt ~--~, was mit dem angegebenen Kreistheoreme fibereinstimmt. Es genfigt~ die aufg'estellte Behauptung ffir die Ellipse nach-zuweisen~ da die Hyperbel als Ellipse mit einer imagin~ren kleinen Aehse aufgefasst werden kann und es mSglieh ist~ durch einen Grenzfibergang die :Verification ffir die Parabel vorzunehmen. Und hinsiehtlieh der Ellipse braucht der Beweis aueh nur ffir die gro~e Aehse erbraeht zu werden~ da bei einer Vertauschung der beiden Achsen lediglich der Wert der Constanten ge~ndert wird.
doi:10.1007/bf01707877 fatcat:wqrhr4nbcrd3potnszsm5syx2q