Versões não-lineares do teorema clássico de Banach-Stone [thesis]

André Luis Porto da Silva
Agradecimentos Agradeço aos meus familiares, que sempre me acompanharam em meus sucessos e fracassos. Em memória, aos meus pais Lourdes e Altamir eàs minhas tias Aparecida e Regina, que nunca mediram esforços em minha educação, me dando amor e amparo enquanto puderam estar presentes. Aonde quer que estejam, sempre os terei comigo. Agradeço ao meu orientador por ser muito atencioso com minhas falhas, me possibilitando, durante a redação deste trabalho, um grande aprendizado, tanto na escrita
more » ... to na forma de organização e exposição das ideias. Agradeçoà Prof. a Dr. a Zara, que, desde o segundo ano de minha Graduação até o Mestrado, me guiou nos estudos de Análise Funcional e Topologia. Tenho nela a inspiração do docente que um dia quero ser. Agradeçoà minha namorada, Letícia Costa, que, com a inteligência e a sensibilidade que sempre admirei, me deu o apoio e a companhia imprescindíveis para o meu trajeto do Mestrado. Agradeçoà minha irmã, por ser uma grande conselheira e ter me incentivado o questionamento e a curiosidade. Com ela, sempre estive confortável por ansiar o conhecimento. Agradeço aos meus amigos Chico, Rafael, Diego Diniz, Everton, Gilson, Salvador, André Zaidan e Valdir. Finalmente, agradeço aos professores doutores Antonio Roberto da Silva e Daniela Mariz Silva Vieira por terem aceitado fazer parte da banca avaliadora desta dissertação. Agradeçoà FAPESP pelo apoio financeiro. Resumo Para um espaço localmente compacto Hausdorff X, denotamos por C 0 (X) o espaço de Banach das funções a valores reais contínuas em X que se anulam no infinito, munido da norma do supremo. O teorema clássico de Banach-Stone estabelece que, para dois espaços localmente compactos Hausdorff X e Y , a existência de um isomorfismo isométrico entre os espaços C 0 (X) e C 0 (Y ) implica que X e Y são homeomorfos. No presente trabalho apresentamos dois teoremas obtidos por Górak em 2011, que são generalizações para o Teorema de Banach-Stone, envolvendo uma classe de funções não-necessariamente lineares, denominadas quasi-isometrias, cuja definição destacamos abaixo: No primeiro teorema a ser apresentado,é provado que, para dois espaços localmente compactos Hausdorff X e Y , a existência de uma (M, L)-quasi-isometria bijetora T : C 0 (X) → C 0 (Y ), com M 2 < 16/15, implica que X e Y são homeomorfos. O segundo teorema que estabelece que, no caso em que X e Y são espaços compactos Hausdorff,é suficiente a existência de uma (M, L)-quasi-isometria bijetora T : C(X) → C(Y ) com M 2 < 6/5 para garantir um homeomorfismo entre X e Y . O trabalho começa com uma introdução dos conceitos envolvidos nos dois Teoremas de Górak, posteriormente, no segundo capítulo, mencionamos problemas em aberto oriundos deles e, finalmente, nos doisúltimos capítulos, efetuamos as demonstrações. Palavras-chave: Teorema de Banach-Stone, espaços C 0 (X), geometria não-linear de espaços de Banach, distância-malha, quasi-isometria. i Abstract Let X be a locally compact Hausdorff space. By C 0 (X) we denote the Banach space of all real-valued continuous functions defined in X which vanish at infinity, provided with the supremum norm. The well-known Banach-Stone Theorem states that for two locally compact Hausdorff spaces X and Y the existence of an isometric isomorphism between the spaces C 0 (X) and C 0 (Y ) implies that X and Y are homeomorphic. In this work we present two theorems proved by Górak in 2011. These results are generalizations of the Banach-Stone Theorem envolving a class of not-necessarily linear functions, called quasi-isometries, which we define as follows: The first theorem states that for two locally compact Hausdorff spaces X and Y , the existence of a bijective (M, L)-quasi isometry T : C 0 (X) → C 0 (Y ) with M 2 < 16/15 implies that X and Y are homeomorphic. The second theorem asserts that, when X and Y are compact Hausdorff spaces, the existence of a bijective (M, L)-quasi-isometry T : C(X) → C(Y ) with M 2 < 6/5 is sufficient to give us an homeomorphism between X and Y . The work starts with an introduction of the concepts applied on both Górak's Theorem, then, at the second chapter, we mention some open problems given by them. Finally in the last chapters we present their proofs. Introdução Para um espaço localmente compacto Hausdorff X, denotamos por C 0 (X) o espaço de Banach das funções a valores reais contínuas em X que se anulam no infinito, munido da norma do supremo. O teorema clássico de Banach-Stone afirma que se os espaços C 0 (X) e C 0 (Y ) são isometricamente isomorfos então X e Y são homeomorfos. O primeiro resultado deste tipo foi provado por Banach [2] em 1933 para espaços métricos compactos. Posteriormente, em 1937, Stone [19] estendeu-o para espaços compactos Hausdorff. Desde então, esse teorema passou por uma série de extensões. Por exemplo, em [3], foi obtida a seguinte versão: Esta versão, além de garantir que X e Y são homeomorfos, também estabelece que todo isomorfismo isométrico entre C 0 (X) e C 0 (Y )é gerado por um homeomorfismo φ e uma função contínua λ como acima. Posteriormente, Amir, em 1965 [1], e Cambern, em 1967 [6] e [7], por meio de resultados independentes, forneceram uma generalização do Teorema de Banach-Stone em que a hipótese sobre a isometria entre os espaços C 0 (X) foi enfraquecida para a existência de um isomorfismo bem-comportado. Istoé: Teorema 0.2 (Amir-Cambern). Sejam X e Y espaços localmente compactos Hausdorff e T : Após a publicação deste teorema, ficou aberta a questão se o número 2, em seu enunciado, e o maior possível. Após três anos, o próprio Cambern, em [8], exibiu dois espaços localmente compactos Hausdorff X e Y , com X compacto e Y não-compacto, e um isomorfismo T : C 0 (X) → C 0 (Y ) tal que ||T || ||T −1 || = 2, provando que 2é a melhor constante possível no contexto dos espaços localmente compactos. A mesma questão persistiu para o contexto mais restrito, dos espaços compactos. Em 1975, Cohen [9] exibiu dois espaços compactos não-homeomorfos e um isomorfismo T : C(X) → C(Y ) tal que ||T || ||T −1 || = 2, possibilitando, finalmente, concluir que a hipótese ||T || ||T −1 || < 2 tambémé a melhor possível para a classe dos espaços compactos. ix Jarosz [17], em 1989, foi o primeiro a apresentar uma generalização não-linear do Teorema de Banach-Stone. O resultado por ele provado levava em consideração uma classe de funções que ele próprio denominou ε-bi-Lipschitz, que definimos abaixo: Definição 0.3. Sejam (E, d E ) e (F, d F ) espaços métricos e T : E → F . Dizemos que Té ε-bi-Lipschitz se satisfaz Observe, na definição acima, que uma função ε-bi-Lipschitz nãoé necessariamente linear. Jarosz provou que existe um ε 0 > 0 universal, tal que, se T : homeomorfos. O mesmo não se preocupa em procurar qualé o maior valor de ε 0 satisfazendo esta propriedade. Observamos que o método de demonstração utilizado por ele só nos possibilita encontrar valores para ε 0 menores que 10 −30 . Em 2005, Dutriex e Kalton em [10], apresentaram uma melhora do resultado de Jarosz que, não só permite a obtenção de um valor maior para ε 0 (ε 0 = 1/33), como também possui uma hipótese, envolvendo "distância-malha", queé mais geral que a existência de uma função ε-bi-Lipschitz entre os espaços de funções contínuas. Mais precisamente, eles provaram que se a distância-malha entre C 0 (X) e C 0 (Y ), que aqui for estritamente menor que 17/16, então X e Y são homeomorfos. Não entraremos em detalhes aqui quantoà definição de d m . Este conceito será apresentado na seção 1.5. Por fim, em 2011, Górak, em [13] e [14], utilizando uma técnica inspirada na demonstração de Jarosz, provou dois teoremas que implicam numa melhora do Teorema de Dutriex e Kalton. O objetivo desta dissertaçãoé, portanto, apresentar estes Teoremas de Górak, demonstrandoos em detalhes e discorrendo sobre suas implicações e questões em aberto por eles motivadas. Veremos no Capítulo 2, que estes teoremas implicam o seguinte corolário: Corolário 0.4. Sejam X e Y espaços localmente compactos Hausdorff. Temos: Portanto, os resultados de Górak acima mencionados produziram uma melhora da constante obtida por Dutriex e Kalton de 17/16 para 16/15, bem como um aumento desta, quando os espaços X e Y são compactos, para 6/5. A presente dissertação estrutura-se do seguinte modo: começaremos com um capítulo de preliminares, estabelecendo alguns conceitos prévios. No segundo capítulo, faremos a apresentação dos dois Teoremas de Górak a serem provados, veremos alguns corolários dos teoremas envolvendo os conceitos de distância-malha e distância uniforme e apresentaremos dois problemas em aberto, propostos por Górak em [13]. Encerramos com os capítulos 3 e 4, onde serão feitas as demonstrações dos resultados de Górak no contexto dos espaços localmente compactos e dos espaços compactos, respectivamente. x Capítulo 1 Preliminares Para apresentarmos os resultados de Górak, bem como para discorrermos a respeito de suas consequências para a teoria, necessitamos ter em mente alguns conceitos importantes, que aqui serão destacados. Na primeira seção deste capítulo, recordaremos alguns conceitos básicos. Na segunda seção, faremos uma introduçãoà noção de redes. Em seguida, na terceira seção, definiremos as quasi-isometrias de forma gradativa por meio de uma breve exposição de classes de funções de uso comum na teoria dos espaços métricos e suas propriedades. Na quarta seção, introduziremos o conceito de malha em espaços métricos e algumas de suas propriedades quando definidas em espaços de Banach. Finalmente, naúltima seção, veremos a definição de distância-malha e distância uniforme entre espaços normados, relacionando-as com as quasi-isometrias nesses espaços.
doi:10.11606/d.45.2016.tde-07092016-000557 fatcat:mce2bqvd3zfk7k6ya3fgh4rzly