Η διατριβή αυτή μελετάει μια ποικιλία θεμάτων στις περιοχές της θεωρίας τελεστών και της συναρτησιακής ανάλυσης σε χώρους ολόμορφων συναρτήσεων του μοναδιαίου δίσκου. Θα ασχοληθούμε με τελεστές σύνθεσης, ενα αντικείμενο που βρίσκεται στην τομή της αναλυτικής θεωρίας συναρτήσεων και της θεωρίας τελεστών, θα ασχοληθούμε επίσης με ημιομάδες τελεστών σύνθεσης, με τους γενικευμένους τελεστές Volterra, και τέλος με τον διάσημο πίνακα Hilbert, ως τελεστή σε χώρους αναλυτικών συναρτήσεων. Τα τελευταία

more »

... ρόνια υπάρχει ένα συνεχώς αυξανόμενο ενδιαφέρον σχετικά με τις ημιομάδες ολόμορφων συναρτήσεων. Η μελέτη αφορά τόσο τα δυναμικά χαρακτηριστικά μιας ημιομάδας, όπως: οι εφαπτόμενες στις τροχιές, ο ρυθμός σύγκλισης στο Denjoy-Wolff σημείο της ημιομάδας, και τα φιξαρισμένα σημεία στο σύνορο για να αναφερουμε μερικά τετοια χαρακτηριστικά, όσο και τη συμπεριφορά της ημιομάδας μέσα σε χώρους αναλυτικών συναρτήσεων. Αυτή η προσέγγιση άρχισε από τους Berkson και Porta. Σε αυτή τη διατριβή, στα κεφάλαια 2, 3 και 4, θα ασχοληθούμε με ερωτήματα σχετικά με αυτή τη τελευταία προσέγγιση. Συγκεκριμένα, έχοντας ως κίνητρο δύο άρθρα των O. Blasco, M.D. Contreras, S.Diaz-Madrigal, J.Martinez, M. Παπαδημητράκη, και A. Συσκάκη, μελετάμε ημιομάδες τελεστών σύνθεσης που δρούν σε μια οικογένεια χώρων τύπου ΒΜΟΑ. Ο Sarason ήταν ο πρώτος που παρατήρησε οτι μία συνάρτηση φραγμένης μέσης ταλάντωσης είναι μία συνάρτηση του χώρου VMOA, αν και μόνο αν οι περιστροφές της συγκλίνουν ως προς τη νόρμα του χώρου στην ίδια τη συνάρτηση, καθώς η γωνία της περιστροφής τείνει στο μηδέν. Στη γλώσσα της θεωρίας των ημιομάδων η διαπίστωσή του μεταφράζεται ως εξής: έστω μια ημιομάδα φ_t (z)=e^it z,t≥ 0 και έστω μία συνάρτηση f∈ BMOA. Το θεώρημα του Sarason δείχνει ότι η ημιομάδα τελεστών σύνθεσης T_t δεν είναι ισχυρά συνεχής στον BMOA, και ότι η οικογένεια συναρτήσεων f∈ BMOA που περνάνε το τεστ της ισχυρής συνέχειας είναι ακριβώς ο χώρος VMOA. Αυτή η διαπίστώση οδηγεί φυσιολογικά στην εξής ερώτηση: Υπάρχουν άλλες ημιομάδες που να μπορούν να αντικαταστήσουν την ημι [...]