Bekanntlich kann der vierdimensionale Würfel als Projektion im dreidimensionalen Raum konkret veranschaulicht werden. Anzahlen von Ecken, Kanten, etc. sowie Fragen zu Parallelität und Orthogonalität, die man für ein n-dimensionales Spat nur mit kombinatorischen Mitteln algebraisch erarbeiten kann, lassen sich für den vierdimensionalen Würfel (oder das vierdimensionale Spat) am dreidimensionalen Modell bzw. dessen Darstellung in der Ebene gut nachvollziehen. Geeignet ist ein solches Thema

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... als Ergänzung zur Vektorgeometrie in der Sekundarstufe II oder zur Anfängervorlesung über Lineare Algebra in der Hochschule. Über diese Rolle als Bindeglied zwischen Anschauung und abstrakter Geometrie hinaus kann das Thema auch als Einstieg in mehrdimensionale Geometrie und deren algebraische Darstellung genutzt werden, wobei man erfahren kann, dass sich auch von vierdimensionalen Gebilden eine gewisse Anschauung einstellt. Um die Darstellung des vierdimensionalen Würfels im drei-bzw. zweidimensionalen anschaulichen Raum besser zu verstehen, empfiehlt es sich zunächst kurz mit der Darstellung des dreidimensionalen Würfels im zweidimensionalen Raum zu beschäftigen. Wir wählen für unseren Zweck eine Projektion entlang einer Mittellinie des dreidimensionalen Würfels. Zunächst wird daran klar, dass die Ecken von den Vektoren 1 OA , 2 OA , 3 OA erzeugt werden mit 1 OB = 1 OA + 2 OA , 2 OB = 1 OA + 3 OA , 3 OB = 2 OA + 3 OA und OC = 1 OA + 2 OA + 3 OA . Außerdem wissen wir, dass alle im Bild parallelen Kanten und auch die vier schräg nach hinten verlaufenden Kanten am dreidimensionalen Würfel jeweils zueinander parallel sind. Da auch alle Kanten am Würfel gleichlang sind, stellen die sechs im Bild auftretenden Vierecke Quadrate dar (einige -die trapezförmigen -eben nur perspektivisch verzerrt). Entsprechend können weitere Eigenschaften des dreidimensionalen Würfels an der Darstellung erläutert werden. Der 4-dimensionale Würfel wird von vier gleichlangen, paarweise zueinander senkrechten Vektoren 1 OA , 2 OA , 3 OA , 4 OA im R 4 erzeugt. Bildet man