Свойства интегрируемости функций с заданным поведением функций распределения и некоторые приложения

А. А. Ковалевский
2019 Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN  
Том 25 № 1 2019 УДК 517.518, 517.956 СВОЙСТВА ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИЙ С ЗАДАННЫМ ПОВЕДЕНИЕМ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 1 А. А. Ковалевский Установлено, что если функция распределения измеримой функции v, заданной на ограниченной области Ω ⊂ R n (n 2), при достаточно больших k удовлетворяет оценке meas{|v| > k} k −α ϕ(k)/ψ(k), где α > 0, ϕ : [1, +∞) → R неотрицательная невозрастающая измеримая функция такая, что интеграл функции s → ϕ(s)/s по [1, +∞) конечен, и ψ : [0, +∞) → R
more » ... и ψ : [0, +∞) → R положительная непрерывная функция с некоторыми дополнительными свойствами, то |v| α ψ(|v|) ∈ L 1 (Ω). При этом функция ψ может быть как ограниченной, так и неограниченной. Даны следствия соответствующих теорем для некоторых конкретных отношений функций ϕ и ψ. В частности, рассмотрен случай, когда функция распределения измеримой функции v при достаточно больших k удовлетворяет оценке meas{|v| > k} Ck −α (ln k) −β , где C, α > 0 и β 0. При этом усилен результат, полученный автором ранее для β > 1, и в целом показано, как отличаются свойства интегрируемости функции v в зависимости от того, какому из промежутков, [0, 1] или (1, +∞), принадлежит β. Рассмотрен также случай, когда функция распределения измеримой функции v при достаточно больших k удовлетворяет оценке meas{|v| > k} Ck −α (ln ln k) −β , где C, α > 0 и β 0. Приведены примеры, показывающие точность полученных результатов в соответствующих шкалах классов, близких к L α (Ω). Наконец, даны приложения этих результатов к энтропийным и слабым решениям задачи Дирихле для нелинейных эллиптических уравнений второго порядка с правой частью из некоторых классов, близких к L 1 (Ω) и определяемых с помощью логарифмической функции или ее двукратной композиции. Ключевые слова: интегрируемость, функция распределения, нелинейные эллиптические уравнения, правая часть из классов, близких к L 1 , задача Дирихле, слабое решение, энтропийное решение. A. A. Kovalevsky. Integrability properties of functions with a given behavior of distribution functions and some applications. We establish that if the distribution function of a measurable function v given on a bounded domain Ω of R n (n 2) satisfies, for sufficiently large k, the estimate meas{|v| > k} k −α ϕ(k)/ψ(k), where α > 0, ϕ : [1, +∞) → R is a nonnegative nonincreasing measurable function such that the integral of the function s → ϕ(s)/s over [1, +∞) is finite, and ψ : [0, +∞) → R is a positive continuous function with some additional properties, then |v| α ψ(|v|) ∈ L 1 (Ω). In so doing, the function ψ can be bounded or unbounded. We give corollaries of the corresponding theorems for some specific ratios of the functions ϕ and ψ. In particular, we consider the case where the distribution function of a measurable function v satisfies, for sufficiently large k, the estimate meas{|v| > k} Ck −α (ln k) −β with C, α > 0 and β 0. In this case, we strengthen our previous result for β > 1 and, on the whole, we show how the integrability properties of the function v differ depending on which of the intervals [0, 1] or (1, +∞) contains β. We also consider the case where the distribution function of a measurable function v satisfies, for sufficiently large k, the estimate meas{|v| > k} Ck −α (ln ln k) −β with C, α > 0 and β 0. We give examples showing the accuracy of the obtained results in the corresponding scales of classes close to L α (Ω). Finally, we give applications of these results to entropy and weak solutions of the Dirichlet problem for nonlinear elliptic second-order equations with right-hand side in some classes close to L 1 (Ω) and defined by the logarithmic function or its double composition. Введение По определению (см., например, [1; 2]) функция распределения измеримой функции v, заданной на ограниченной области Ω ⊂ R n (n 2), это соответствие s → meas{|v| > s}, s 0.
doi:10.21538/0134-4889-2019-25-1-78-92 fatcat:53ontsago5fq7h4taowbdktlu4