Cet ouvrage, basé initialement sur un cours de DEA de physique donné à l'Université de Cergy-Pontoise en 2000-2001 (Saclay preprint T01/019), mais édité et complété par des fragments d'autres enseignements et des notes personnelles, a pour objectif de fournir les bases élémentaires de la théorie des groupes, et d'évoquer le rôle des symétries dans différents domaines de physique, classique ou quantique. Dans une première partie, la structure mathématique générale associée aux groupes de

more »

... est décrite, en insistant sur l'aspect pratique plus que l'aspect proprement théorie des groupes. L'ensemble est illustré par les propriétés de quelques groupes utiles en mécanique analytique classique, en mécanique quantique non-relativiste et en théorie classique des champs. Les groupes sont organisés par ordre de complexité croissante. Nous commençons par des groupes discrets, puis continus abéliens (ou commutatifs). Nous introduisons ensuite la notion de groupes de Lie, à partir de leurs représentations matricielles. À ces groupes sont associées des algèbres de Lie. Nous étudions de façon détaillée les propriétés du groupe O(3) (le groupe des rotations-réflexions de l'espace à trois dimensions) et unitaire U(2) (qui préserve la norme des vecteurs complexes à deux dimensions). Utilisant les algèbres de Lie correspondantes, nous discutons la décomposition des représentations matricielles de ces groupes en représentations irréductibles. Nous décrivons, de manière moins détaillée, quelques propriétés générales des groupes orthogonaux O(N), qui préservent la norme des vecteurs réels de l'espace à N dimensions, et U(N) qui préservent la norme des vecteurs complexes de l'espace à N dimensions. Parmi ces groupes, le groupe SU(3), sousgroupe du groupe O(3), est directement utile en physique des particules. La mécanique quantique nécessite la représentation des algèbres de Lie par opérateurs différentiels, un sujet auquel nous consacrons un chapitre. Enfin, nous évoquons le groupe linéaire général, un sujet qui peut servir d'introduction au formalisme de la théorie de la Relativité Générale. Deux chapitres sont consacrés au rôle des symétries dans les équations d'évolution des physiques classique et quantique. La marche aléatoire sur réseaux, dont nous déterminons les propriétés asymptotiques, présente un exemple de symétries asymptotiques ou émergentes. Le problème des brisures spontanées de symétrie et des transitions de phase est ensuite abordé. Ce sujet est illustré par la théorie des phénomènes critiques de Landau. Il est montré sur des exemples simples comment la théorie de Landau, combinée avec les propriétés de symétrie, conduit à des prédictions de comportements universels des quantités thermodynamiques au voisinage d'une transition de