In this paper we consider the class of three-dimensional discrete maps M (x, y, z) = [φ (y) , φ (z) , φ (x)], where φ : R → R is an endomorphism. We show that all the cycles of the 3-D map M can be obtained by those of φ (x), as well as their local bifurcations. In particular we obtain that any local bifurcation is of co-dimension 3, that is three eigenvalues cross simultaneously the unit circle. As the map M exhibits coexistence of cycles when φ (x) has a cycle of period n ≥ 2, making use of

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... e Myrberg map as endomorphism, we describe the structure of the basins of attraction of the attractors of M and we study the eect of the ip bifurcation of a xed point. Résumé. Dans ce papier nous considérons la classe des applications trois-dimensionnelles discrètes M (x, y, z) = [φ (y) , φ (z) , φ (x)], où φ : R → R est un endomorphisme. Nous montrons que tous les cycles de l'application 3-D M peuvent être obtenus par ceux de φ (x), ainsi que leurs bifurcations locales. En particulier, nous obtenons que toute bifurcation locale est de co-dimension 3, c'est-à-dire que trois valeurs propres franchissent simultanément le cercle unité. Comme l'application M exhibe une coexistence de cycles lorsque φ (x) a un cycle de période n ≥ 2, en utilisant l'application de Myrberg comme endomorphisme, nous décrivons la structure des bassins d'attraction des attracteurs de M et nous étudions les eets d'une bifurcation de doublement de période d'un point xe. Mots clefs. Transformation à temps discret de dimension 3, Orbites périodiques, Bifurcations de codimension 3. Article published online by EDP Sciences and available at http://www.esaim-proc.org or http://dx.