on considöre dans ce travail la classe des domaines o de Ia forme o : Ö \ F, "li ö d6signe Ia sphöre de Riemann et F une partie compacte du graphe I : {z : r + iy;V : /(r)} d'une fonction lipschitzienne /: R --+ R. On dit que ö est un d.omaine de Denjoy Lipschitzien, les domaines de Denjoy "classiques" correspondant au cas I : R. Dans 1'6tude de Ia th6orie des fonctions dans les ouverts peu r6guliers, ces domaines constituent un champ d'investigation naturel ([B], [Ca], [G-J], [Z], [41]' [A2]).

more »

... on s'int6ressera ici ä Ia frontiöre de Martin ([Ma], [Na]) d'un tel domaine. si O est de Green (ce qui 6quivaut ä F non polaire) et si 0 € f., on sait que le cöne C --{r;u harmonique } 0 sur O\tr,i; ä:0sur f'\{0} est dedimension 1 ou 2, et qu'il est engendr6 par une ou deux fonctions harmoniques minimales sur f). (cf. [42]; [B], [A1] pour le cas or\ r, c R). Lorsque dim(c) : 1, la convergence ordinaire d'un point variable de o vers 0 6quivaut äIa convergence de ce point, dans le compactifi6 de Martin de O, vers le point minimal associd ä 0. On dira que 0 est un point Martin simple pour O ' Lorsque dim(c) :2, c est associ6 ä deux points minimaux du compactifi6 de Martin Ö a" O I ces points sont les seules valeurs d'adh6rence possibles sur |a frontiäre de Martin minimale de O des suites de points de O tendant vers 0 au sens ordinaire. On dira alors que 0 est un point Martin double pour O. N. Chevallier [Ch] a pr6cis6 ces propri6t6s en montrant qu'on obtient les deux minimales h et k associ6es ä 0, en posant: h(a) : liml;'s,1-6 G(it, r) lG(it, Ps) , el k(r):1im146,1*s G(it,n)lG(it"Po) (en notant Ps le point de normalisation choisi et G la fonction de Green de O ). On sait aussi que limt>o,t*o h(it) lk(it) : oo ' L'article de Benedicks [B] fournit, lorsque -F'C R, une caract6risation du cas of 0 est simple par la divergence d'une intdgrale de certaines mesures harmoniques' Du critöre de Benedicks d6coule en particulier que la dimension du cöne C est une fonction croissante de F, si F est un ferm6 variable de R. On peut aussi prouver cette propri6t6 en la rattachant ä la suivante: si F C R, (ou plus g6n6ralement si / est de classe C7,or 0i--a <-1), et si 0 e -F est un point Martin double pour o : Ö \ F, l',ensemble I fl o est effi16 minimal relativement å chacune des deux minimales associ6es ä 0 (voir tch]).