Täydelliseksi luvuksi (perfect number) kutsutaan posi-tiivista kokonaislukua, joka on itseään pienempien po-sitiivisten tekijöidensä summa. Esimerkiksi luku 6 on täydellinen, sillä 6 = 1 + 2 + 3. Samoin luku 28 on täy-dellinen, sillä sen itseään pienemmät positiiviset tekijät ovat 1, 2, 4, 7 ja 14 ja 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Täydelli-set luvut ovat kiinnostaneet matemaatikoita jo tuhan-sien vuosien ajan ja niihin liittyy eräitä matematiikan vanhimpia ratkaisemattomia ongelmia. Eukleides lienee

more »

... nsimmäinen täydellistä luvuista tu-loksia julkaissut matemaatikko. Hänen Elementansa on parhaiten tunnettu geometrian aksiomaattisesta esi-tyksestä, mutta se sisältää myös merkittäviä lukuteo-rian tuloksia. Niistä tunnetuin on kaikkien aikojen kau-neimmaksi matemaattiseksi todistukseksi mainittu to-distus sille, että alkulukuja onääretönon¨onääretön määrä. Euklei-des todisti myös, että kaikki muotoa a = 2 m−1 (2 m − 1) olevat parilliset luvut, missä 2 m − 1 on alkuluku, ovat täydellisiä. Vasta 1700-luvulla Euler onnistui todista-maan, että muita parillisia täydellisiä lukuja ei ole ole-massa. Käymme läpi Eukleideen ja Eulerin todistukset esiteltyämme aluksi eräitä apukäsitteitä.