Órbitas bilhares periódicas em triângulos obtusos [thesis]

Marisa dos Reis Cantarino
Agradecimentos Meus primeiros agradecimentos são ao meu orientador, Manuel, pela atenção e amizade durante os últimos anos, e por sempre acreditar em mim. Agradeço à Sônia, pelos mesmos motivos e pelo cuidado e ajuda que sempre me concedeu durante a minha vida acadêmica. Obrigada também aos colegas de orientação Matheus, Marcelo, Jerusa e Thiago pela companhia em vários momentos. Gostaria de agradecer à minha família, família estendida e amigos que foram mais próximos nos últimos dois anos,
more » ... imos dois anos, pelo apoio, carinho e paciência durante a realização deste trabalho: mãe, pai, perto ou longe, vocês são fonte de conforto, inspiração e coragem. Há muitas pessoas que estiveram por perto e me ajudaram a seguir em frente, de uma forma ou de outra. Todo meu carinho a vocês, especialmente para os que compareceram na minha defesa. Obrigada aos membros da banca pela leitura e considerações sobre este trabalho, assim como à CAPES pelo apoio financeiro sem o qual este não existiria. i ii Palavras-chave: dinâmica bilhar, triângulos, órbitas periódicas. iii iv Abstract CANTARINO, M. R. Periodic billiard orbits in obtuse triangles. 2018. 87 p. Thesis (Master's Degree) -A billiard orbit in a triangle is a polygonal with vertices at the boundary of the triangle such that its angles reflect elastically. It is similar to a moving ball on a billiard table without friction (so the ball has constant speed and never stops) whose sides form a triangle. This orbit is periodic if it returns infinitely to the same point with the same direction. The existence of periodic billiard orbits in polygons is an open problem in mathematics. Even for a triangle there is still no answer. For acute triangles the answer is well known since the triangle whose vertices are the base points of the three altitudes of the triangle is a periodic orbit. For obtuse triangles, in general, little is known. The aim of this thesis is to collect results and techniques on periodic billiard orbits in obtuse triangles. We start by introducing the work of Vorobets, Gal'perin and Stepin, who unified in the early 1990s the known cases of triangles that have periodic billiard orbits, introduced the concept of stability and proved new results, such as an infinite family of stable orbits. We also have the theorem of Halbeisen and Hungerbühler of 2000 extending the families of stable orbits. Next, we mention the works of Schwartz of 2006 and 2009 that use computational assistance to prove that every triangle whose angles are at most 100 • have periodic billiard orbits. Then, we have the results of 2008 by Hooper and Schwartz on periodic billiard orbits in nearly isosceles triangles and on stability of billiard orbits in Veech triangles. All cases covered in this work include a wide variety of triangles, but the question of the existence of periodic billiard orbits for all triangles is far from being fully contemplated. v vi SUMÁRIO 0.0 O caso clássico, introduzido por Birkhoff, é um domínio estritamente convexo com fronteira suave, e neste caso é conhecida a existência de órbitas periódicas. Outro caso estudado é o dispersivo no qual a dinâmica é hiperbólica, ou o semi-dispersivo, e também sempre haverão órbitas periódicas. No caso poligonal, no entanto, ainda não se sabe se sempre existirão órbitas periódicas. Nos casos convexo e dispersivo, para todo n ≥ 2 existem limitantes inferiores para a quantidade de órbitas periódicas n-segmentadas. Veja [Gut03] para especificidades da dinâmica de bilhares para o caso convexo e dispersivo. No entanto, para triângulos temos a seguinte: Proposição 0.0.1. Para todo n ∈ N existe um triângulo obtuso n tal que toda órbita periódica (se existir) possui mais de n segmentos. Demonstração. Todo triângulo obtuso é definido, a menos de semelhança, por dois ângulos agudos α e β. Assim, dado n podemos tomar α e β tão pequenos de forma que min π α , π β > n. Além disso, vamos exigir que α, β e π sejam racionalmente independentes, isto é, se mα + nβ + lπ = 0 com l, m, n ∈ Z, então l = m = n = 0. Seja Γ uma órbita periódica no triângulo obtuso n com ângulos agudos α e β. Vamos chamar os lados BC, AB e AC de 1, 2 e 3, respectivamente. Vejamos que existe um segmento de Γ ligando os lados 1 e 2. SUMÁRIO 0.0 Capítulo 1 Bilhares em polígonos
doi:10.11606/d.45.2018.tde-07052018-120629 fatcat:x33o3tpsind7hj3svx3gonci4m