Localisation des résidus de Baum-Bott, courbes généralisées et K-théorie (I: feuilletages dans $ {\Bbb C}^2 $ )

V. Cavalier, D. Lehmann
2001 Commentarii Mathematici Helvetici  
Let v be a holomorphic vector field in a neighborhood of a point m 0 in C 2 , which is a non dicritical isolated singularity. Let f = 0 be a reduced equation of the maximal separatrix V through m 0 , v f the vector field v f = f y ∂ ∂x − f x ∂ ∂y , and Σ the union of separatrices and pseudo-separatrices (i.e. the set of points where v and v f are colinear). Assuming the foliations defined by v and v f to be distinct, we prove that the Baum-Bott residue BB(c 2 1 , v) of v at m 0 , as well as the
more » ... difference P H(v) − µ between the Poincaré-Hopf index and the Milnor number of V at m 0 , are "localised" near the separatrices and pseudo-separatrices. (The particular case of generalized curves has already been studied in details in [CLS] and [Br]). We also interpret in K-theory the difference P H − µ as well as the GSV index of Gomez Mont-Seade-Verjovski, and we give a caracterisation of generalized curves in this framework, which will enable us to extend this concept in higher dimension. Mathematics Subject Classification (2000) . 57R20, 57R25, 19E20. Keywords . Singular holomorphic foliations, generalized curves, K-theory. V. Cavalier et D. Lehmann CMH P H m 0 (v) de Poincaré-Hopf de v estégal au nombre de Milnor µ de V en m 0 , et que réciproquement cette propriété caractérise les courbes généralisées parmi les singularités non dicritiques. Dans [Br], M. Brunella a comparé plus généralement les différents indices en un point singulier non dicritique m 0 . Il a montré que l'indice GSV m 0 (v, V ) de Gomez Mont-Seade-Verjovski de v en m 0 relatifà V (cf. ([GSV])était toujours positif ou nul. Dans le cas d'une courbe généralisée et pour une séparatrice V maximale, il a montré que GSV m 0 (v, V )était nul, tandis que le résidu de Baum-Bott BB m 0 (v, c 2 1 )était alorségalà l'indice de Camacho-Sad-Lins Neto CS m 0 (v, V ) ([CS], [Li], [Su]) en m 0 relatifà V . Dans le cas des singularités qu'il a appelées "presque liouvilléenes" (qui comprennent en particulier les singularités simples: selles et selle-noeuds), Brunella a aussi donné une formule permettant de localiser le résidu au voisinage de certaines des séparatrices: celles qui constituent le pôle de la forme de Liouville. Dans cet article, nous nous proposons d'abord de donner de telles formules de localisation dans le cas le plus général d'une singularité non dicritique m 0 : supposant le feuilletage défini par v distinct de celui défini par v f , nous montrons au paragraphe 2 que P H(v)−µ et BB(v, c 2 1 ) ne dépendent, une fois choisie l'équation réduite f = 0 de V , que du comportement local de v dans un voisinage tubulaire de Σ − {m 0 }, où l'ensemble Σ (qui contient V ) désigne l'ensemble des points en lesquels v et v f sont colinéaires. Ces localisations dépendent donc aussi du choix de la fonction f , qui n'est définie qu'à unité près dans l'anneau des germes en m 0 de fonctions holomorphes (voir les remarques finales du paragraphe 2). Le paragraphe 3 est consacréà l'étude du comportement de ces indices paréclatement: nous y démontrons en particulier la réciproque du résultat précité de Brunella: si GSV m 0 (v, V ) = 0, la séparatrice est maximale, et le feuilletage est une courbe généralisée. Nousétudions des exemples au paragraphe 4. Au paragraphe 5, nous donnons une interprétation de GSV ainsi que de P H − µ en K-théorie. Dans un article ultérieur, nous verrons ce qu'on peut dire en dimension supérieure. Nous remercions les collègues avec qui nous avons eu d'utiles discussions, en particulier S. Azziz, M. Karoubi, A. Lins Neto, J. F. Mattei, M. Nicolau et M. Soarès. Théorème de localisation en dimension 2 Soit donc v = a ∂ ∂x + b ∂ ∂y comme dans l'introduction. (On notera (v) le feuilletage défini par v). Soit f = 0 uneéquation réduite de la séparatrice maximale V passant par le point singulier isolé m 0 de v. Il existe alors une fonction holomorphe C telle que < df, v >= Cf.
doi:10.1007/s00014-001-8324-9 fatcat:ki6l25zw45ac3e7onrdf2ouj6m