Sur les familles normales de fonctions analytiques Annales scientifiques de l'É.N.S. 3 e série, tome 33 (1916), p. 223-302 © Gauthier-Villars (Éditions scientifiques et médicales Elsevier), 1916, tous droits réservés. L'accès aux archives de la revue « Annales scientifiques de l'É.N.S. » (http://www. elsevier.com/locate/ansens) implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est

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... d'une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ ( 1 ) Sur tes familles de fonctions analytiques qui admettent des valeurs exceptionnelles dam un Misffiuw (^Àn/icdes de l'École 'Normale, 1912, p. 487). SUR LES FAMILLES NORMALES 'DE FONCTIONS ANALYTIQUES. 2^5 priétés nouvelles des fonctions holomorphes qui ne prennent pas deux valeurs données à l'intérieur d'un angle. Dans le Chapitre III, j'étudie des familles normales de polynômes et j'introduis la notion de familles normales de polynômes d'ordre donné p : ce sont des familles de polynômes dont le module, dans un cercle de rayon r, ne dépasse pas e^ ou encore certaines familles de polynômes pour lesquels la somme des inverses des puissances p des modules de leurs zéros demeure bornée. Ces familles de polynômes s'introduisent naturellement dans l'étude des fonctions entières de genre fini. Je démontre, en effet, que toute fonction entière d'ordre p est la limite d'une suite de polynômes d'ordre p et réciproquement. On retrouve, en particulier, par cette voie, les beaux résultats de M. Hadamard sur les fonctions entières de genre fini. Dans le dernier Chapitre, je m'occupe des familles normales de fonctions méromorphes. Pour toutes les fonctions méromorphes f{x')-=a^a^x^. .., dans lesquelles a^ et a, sont fixes(a^ 7^ o) et qui appartiennent a une famille normale, il existe un nombre R, ne dépendant que dea^ etdea^, tel que, à l'extérieur du cercle de centre ^^=o et de rayon R, ou la fonction /(^) cesse d'être méromorphe, ou cette fonction cesse d'appartenir à la famille. Soient a, b, c trois nombres quelconques et m^ n, p trois entiers dont la somme des inverses est inférieure à l'unité. Nous dirons que les racines des équations y(^)_a=o, /(^)-6==o, /(.r)-c=o sont régulières si l'ordre de multiplicité de ces racines est divisible par m pour la première, par n pour la seconde, par p pour la troisième. En substituant à la fonction modulaire dont le rôle est fondamental dans ces questions, une fonction de Schwarz, comme l'ont fait MM-Landau et Caratbéodory dans leur Mémoire sur les suites de fonctions, on démontre que les fonctions f{x) dont les racines sont régulières dans w domaine D forment une famille n^piale. Le théo-Ànn. Éc. Norm., (3), XXKllï. -JUILLET 1916. ^ 220 P. MONTEL. reme précédent s'applique alors à ces fonctions. On en conclut, par exemple, qu'il n'existe pas de fonction méromorphe dans tout le plan, telle que toutes les racines des équations précédentes soient régulières et l'on déduit de là l'impossibilité de trouver trois fonctions entières X, Y, Z vérifiant la relation XW+Y^-I-Z/^O, lorsque la somme des inverses des entiers m, n, p est inférieure à l'unité. Ces généralisations des théorèmes de M. Picard sur l'indétermination d'une fonction autour d'un point essentiel peuvent encore être étendues au cas où il existe des racines non régulières. Les principaux résultats de ce dernier Chapitre ont été énoncés dans une Note insérée aux Comptes rendus de l'Académie des Sciences, le 18 novembre 1912.