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Well-posedness and stability of stochastic evolution equations arising from neuroscience [article]

Jennifer Krüger, Wilhelm Stannat, Technische Universität Berlin, Technische Universität Berlin
2017
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Analyse neurobiologisch motivierter stochastischer Evolutionsgleichungen. Im ersten Teil untersuchen wir die Existenz und Eindeutigkeit milder Lösungen der stochastischen neuronalen Feldgleichung mit unstetiger Feuerrate. Diese makroskopische Gleichung modelliert die orts- und zeitabhängige Ausbreitung neuronaler Aktivität in dünnen Gewebeschichten des menschlichen Kortex. Hierbei wird die Aktivität des umliegenden Feldes in Form einer
more » ... ner Populationsfeuerrate kodiert, welche in der vorliegenden Arbeit als unstetige Heaviside-Funktion angenommen wird. In diesem Fall, aber auch für allgemeinere Klassen nichtlinearer, nichtlokaler Evolutionsgleichungen mit unstetigen Koeffizienten, ist die Wohlgestelltheit des Problems, d.h. die Existenz und Eindeutigkeit milder Lösungen, nicht immer gewährleistet beziehungsweise für viele stochastische sowie deterministische Gleichungen ungeklärt. Wir beweisen die Existenz einer maximalen milden Lösung mithilfe einer monotonen Iterationsmethode und illustrieren anschließend die Nichteindeutigkeit der deterministischen neuronalen Feldgleichung anhand eines ersten Beispiels. Unter Annahme zusätzlicher Eigenschaften der Lösung beweisen wir Eindeutigkeit in diversen Unterklassen milder Lösungen. Im zweiten Teil der Arbeit präsentieren wir eine Multiskalenanalyse von travelling wave-Dynamiken in stochastischen bistabilen Reaktionsdiffusionsgleichungen mit additivem Rauschen. Diese Art des Rauschens erzeugt Störungen der Dynamik auf zwei unterschiedlichen Skalen: Zum einen treten Fluktuationen in der Form der Wellenfront auf und zum anderen lässt sich eine zufällige Veränderung der im deterministischen Fall konstanten Wellengeschwindigkeit beobachten. Innerhalb der Theorie variationeller Lösungen stochastischer partieller Differentialgleichungen leiten wir eine Zerlegung der Lösung in eine sich mit stochastisch gestörter Geschwindigkeit ausbreitende wandernde Welle und dazu orthogonale Gausssche Fluktuationen her. Diese Darstellung gilt bis zur [...]
doi:10.14279/depositonce-5960 fatcat:zxzphz4lgffnbgd2e5zkjs6a7i