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Über das größte Product der Theile oder Summanden jeder Zahl

J. Steiner
1850 Journal für die Reine und Angewandte Mathematik  
W ird eine gegebene Zahl a in zwei beliebige Theile zerlegt, so ist bekanntlich das Produqt der Theile am gröfsten, wenn dieselben gleich sind. Eben so verhält es sich, wenn die Zahl a in 3, 4, 5, .... n, Theile zerlegt wird. Da aber die hiebei entstehenden gröfsten Producte unter sich verschieden sind, so entsteht die Frage: " in wieviele gleiche Theile, oder in was für Theile die Zahl a zerlegt werden müsse, damit das Product derselben am allergrößten, ein Maximum Maximorum, werde?" Man
more » ... , werde?" Man findet leicht, dafs jeder Theil =0, d. h. gleich c^er Grundzahl der natürlichen Logarithmen, und somit die Anzahl der Theile = -sein mufs, so dafs also das verlangte gröfste Product n = ê ist. Oder da ye= 1,4446...., so ist das gröfste Pfoduct der Summanden jeder Zahl a = (1^446 )a Wenn also xe = yz = a, so ist immer e x > %y. l i Für a = l, wird x = -, und da man dabei auch y==-annehmen " e ' J z kann, so hat man c z ije > y%, oder e z > z e , d. h. "Wird jede Zahl durch sich selbst radicirf, so gewährt diel/ahl e die allergrößte Wurzel;" oder: "Die Zahl e hat die Eigenschaft, daß sie t mit jeder ändern Zahl % gegenseitig potenzirt, allemal die größere Potenz giebl" Verlangt man zwei Zahlen b und c, für welche 6 c 1/6 = y«·, oder b c = c b sein soll, so ist die eine, etwa b, kleiner und die andere c gröfser als e; nämlich b hat den Spielraum von e bis l, wahrend c von e bis oc wächst. Es giebt nur einen Fall, wo b und c ganze Zahlen sind, nämlich 2 und 4. Wenn d>c>e, so ist immer c d ]/c > )/rf, oder c d > d c .
doi:10.1515/crll.1850.40.208 fatcat:3xeiwsoxyncdtmzf65hbdjt2yy