On the Existence of Positive Periodic Solutions for Second-Order Functional Differential Equations with Multiple Delays release_zz43h563mvdqxoxsvqsp5kcyoi

Abstract

The existence results of positive<jats:italic>ω</jats:italic>-periodic solutions are obtained for the second-order functional differential equation with multiple delays<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>″</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math>, where<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mi>a</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>ℝ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math>is a positive<jats:italic>ω</jats:italic>-periodic function,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>ℝ</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>→</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math>is a continuous function which is<jats:italic>ω</jats:italic>-periodic in<jats:italic>t</jats:italic>, and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:msub><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>ℝ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math>are<jats:italic>ω</jats:italic>-periodic functions. The existence conditions concern the first eigenvalue of the associated linear periodic boundary problem. Our discussion is based on the fixed-point index theory in cones.
In application/xml+jats format

Archived Files and Locations