Toeplitz Operators on Abstract Hardy Spaces Built upon Banach Function Spaces release_tzvowrqts5amjg6ienm5ry6ygq

Abstract

Let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:math> be a Banach function space over the unit circle <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">T</mml:mi></mml:mrow></mml:math> and let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mi>H</mml:mi><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:math> be the abstract Hardy space built upon <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:math>. If the Riesz projection <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow></mml:math> is bounded on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:math>, then the Toeplitz operator <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math> is bounded on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"><mml:mi>H</mml:mi><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:math>. We extend well-known results by Brown and Halmos for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:math> and show that, under certain assumptions on the space <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:math>, the Toeplitz operator <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math> is bounded (resp., compact) if and only if <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:math> (resp., <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:math>). Moreover, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"><mml:msub><mml:mrow><mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">B</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>H</mml:mi><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">B</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:msub></mml:math>. These results are specified to the cases of abstract Hardy spaces built upon Lebesgue spaces with Muckenhoupt weights and Nakano spaces with radial oscillating weights.
In application/xml+jats format

Archived Files and Locations