Subordination criteria for starlikeness and convexity release_k4hkiwaen5ernnabot3ttugq7u

Abstract

For functions<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$p$"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math>analytic in the open unit disc<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$U=\{z:|z| &lt; 1\}$"><mml:mi>U</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow></mml:math>with the normalization<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$p(0)=1$"><mml:mi>p</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math>, we consider the families<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$\mathcal{P}[A,-1]$"><mml:mi>𝒫</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$-1 &lt; A \le 1$"><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math>, consisting of<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$p$"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math>such that<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$p(z)$"><mml:mi>p</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math>is subordinate to<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$(1+Az)/(1-z)$"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>/</mml:mo><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>in<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$U$"><mml:mi>U</mml:mi></mml:math>and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$\mathcal{P}(1,b)$"><mml:mi>𝒫</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$b&gt;0$"><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math>, consisting of<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$p$"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math>, which have the disc formulation<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$|p-1| &lt; b$"><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>in<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$U$"><mml:mi>U</mml:mi></mml:math>. We then introduce subordination criteria for the choice of<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$p(z)=zf^\prime(z)/f(z)$"><mml:mi>p</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:msup><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>/</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>, where<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$f$"><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>is analytic in<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$U$"><mml:mi>U</mml:mi></mml:math>and normalized by<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$f(0)=f^\prime(0)-1=0$"><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math>. We also obtain starlikeness and convexity conditions for such functions<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$f$"><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>and consequently extend and, in some cases, improve the corresponding previously known results.
In application/xml+jats format

Archived Files and Locations