@article{sun_2011, 
  title={Oscillation of Certain Second-Order Sub-Half-Linear Neutral Impulsive Differential Equations}, 
  volume={2011}, 
  DOI={10.1155/2011/195619}, 
  abstractNote={<jats:p>By introducing auxiliary functions, we investigate the oscillation of a class of second-order sub-half-linear neutral impulsive differential equations of the form<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mi>β</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msup><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mi>α</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,  </mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>≠</mml:mo><mml:msub><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:msub><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mi>β</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mo>|</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:msub><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mi>α</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mo>|</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math>where<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,  </mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo><mml:mtext> </mml:mtext><mml:mtext> </mml:mtext></mml:mrow></mml:math>Several oscillation criteria for the above equation are established in both the case<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math>and the case<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math>which generalize and complement some existing results in the literature. Two examples are also given to illustrate the effect of impulses on the oscillatory behavior of solutions to the equation.</jats:p>}, 
  publisher={Hindawi Limited}, 
  author={Sun}, 
  year={2011}
  }