Oscillation of Certain Second-Order Sub-Half-Linear Neutral Impulsive Differential Equations release_76dsgiqcfzgw7jxlepi2jfdwpe

Abstract

By introducing auxiliary functions, we investigate the oscillation of a class of second-order sub-half-linear neutral impulsive differential equations of the form<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mi>β</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msup><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mi>α</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,  </mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>≠</mml:mo><mml:msub><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:msub><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mi>β</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mo>|</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:msub><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mi>α</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mo>|</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math>where<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,  </mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo><mml:mtext> </mml:mtext><mml:mtext> </mml:mtext></mml:mrow></mml:math>Several oscillation criteria for the above equation are established in both the case<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math>and the case<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math>which generalize and complement some existing results in the literature. Two examples are also given to illustrate the effect of impulses on the oscillatory behavior of solutions to the equation.
In application/xml+jats format

Archived Files and Locations